SAMARTSEV.RU

Некоторые методы устного счета
* - авторские разработки

Введение

В наш век новых технологий и развития компьютерной техники разговор об устном счете может показаться неуместным, однако и по сей день гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление.

Вопросам устного счета в литературе уделено мало внимания, особенно в последнее время, поэтому в данной статье приведены некоторые интересные, по мнению автора, соображения на этот счет, а также авторские оригинальные разработки 1990-1992 годов.

Для того, чтобы быстро производить вычисления в уме, надо знать некоторые приемы устного счета. Производя математические вычисления в уме, человек пользуется, по сути, теми же правилами, что и при письменных вычислениях. Например, при сложении двух чисел в уме мы складываем их поразрядно, отличие состоит только в том, что кто-то складывает сначала старшие разряды, а затем младшие, а кто-то наоборот - сначала младшие, затем старшие. В любом случае, эта операция эквивалентна сложению столбиком на бумаге.
Необходимо отметить, что в некоторых частных случаях удобнее отойти от стандартных правил, и воспользоваться способом, более удобным для устного применения, причем в письменном виде этот способ будет скорее всего неудобен. Например, требуется сложить два числа, причем хотя бы одно из них близко к "круглому", например, 56 и 97. Очевидно, проще поступить следующим образом: отнять от 56 число, которого нехватает 97 до 100, т.е. 3, а то что осталось, т.е. 53, прибавить к 100. В уме это проделывается элементарно, а на бумаге пришлось бы выписывать много чисел.
Подобными правилами для сложения и вычитания многие люди пользуются автоматически, так как эти правила находятся в подсознании: или мы где-то узнали об этих правилах и заучили наизусть, или сами додумались до них, причем в последнем случае, как показывает практика, результаты лучше, чем при заучивании оттого, что знание "идет от себя самого" и мы не задумываемся над его происхождением.

Правила быстрого умножения

Правила для устного умножения и деления более сложны и представляют особый интерес. Для деления рекомендуется представлять в уме процесс, "записывая" пример в строчку. Сюда же можно отнести признаки делимости чисел. Существуют и различные способы извлечения корней из чисел. Все эти методы математически верны, но сложны в использовании, так как, например, требуют удержания в памяти многих чисел. Наибольший интерес видится в освоении приемов быстрого умножения. Для начала приведем два приема, получившие наибольшее описание в литературе.



Умножение двузначного числа на 11

Следует "раздвинуть" цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.

Пример:
34 * 11 = 374, так как 3 + 4 = 7, семерку помещаем между тройкой и четверкой
68 * 11 = 748, так как 6 + 8 = 14, четверку помещаем между семеркой (шестерка плюс перенесенная единица) и восьмеркой

Объяснение:
10a+b - произвольное число, где a - число десятков, b - число единиц. Подобные обозначения будем использовать и далее.

Имеем:
(10a+b)*11 = 10a*11 + b*11 = 110a + 11b = 100a + 10a + 10b + b = 100a + 10*(a+b) + b,
где мы имеем a сотен, a+b десятков и b единиц.



Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на "5"

Следует число, получаемое из данного отбрасыванием пятерки, помножить на следующее в числовом ряду, т.е. на увеличенное на единицу, и к полученному произведению дописать "25".
Для устного счета метод применим для всех двузначных чисел и некоторых трехзначных (с удобными первыми цифрами).
Примеры:

75 * 75 = 5625 115 * 115 = 13225 75 --> 7*(7+1)=56 --> 5625 115 --> 11*(11+1)=132 --> 13225
Объяснение (на примере двузначного числа):
(10a+5)*(10a+5) = 10a*10a + 50a + 50a + 25 = 100a2 + 100a + 25 = 100a*(a+1) + 2*10 + 5,

т.е. результат содержит a*(a+1) сотен, два десятка и пять единиц.

В литературе описаны и другие приемы, такие же простые и не менее полезные. Приведем некоторые из них.



Умножение двузначного числа на 101

Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено.
Пример:

57 * 101 = 5757      57 --> 5757
Объяснение: (10a+b)*101 = 1010a + 101b = 1000a + 100b + 10a + b
Аналогично производят умножение трехзначных чисел на 1001, четырехзначных - на 10001 и т.п.



Перемножение двузначных чисел, меньших, чем 20

Следует к одному из чисел прибавить число единиц второго множимого, сумму увеличить в 10 раз и сложить с произведением цифр разряда единиц обоих чисел.
Пример:

18 * 13 = 234

18; 13 --> 18 + 3 = 21 --> 21*10 = 210 --> 3*8 = 24 --> 210 + 24 = 234 или

13; 18 --> 13 + 8 = 21 --> 21*10 = 210 --> 8*3 = 24 --> 210 + 24 = 234
Объяснение: (10+a)*(10+b) = 100 + 10a + 10b + a*b = 10*(10+a+b) + a*b = 10*((10+a)+b) + a*b



Перемножение двух чисел, отличающихся на одно и то же число от некоторого третьего числа, квадрат которого заведомо известен

Удобно, если это третье число будет "круглым", т.е. его легко возвести в квадрат
Правило ясно из примера:

97 * 103 = 9991    100 - 97 = 103 - 100 = 3 --> 100*100-3*3=9991
Объяснение: (a + b)*(a - b) = a*a - b*b

Подобных правил и примеров очень много, и заинтересовавшегося читателя я отсылаю к литературе, правда, ставшей в последнее время букинистической.
Далее приводятся две закономерности, из которых вытекают правила, до сих пор (до 1990 года) автору не встречавшиеся и которые могут быть полезны в практическом применении.




Метод "ОБРАТНОЙ ПИРАМИДЫ"

удобная схема возведения в квадрат любых чисел, разработана автором в 1990 году, ©2001

Приведение данного метода, целиком или частями, в т.ч. схем и рисунков, в печатных и/или иных изданиях без согласия автора запрещается. При перепечатке обязательно указывать авторство и оригинальное название метода - "обратная пирамида".

Схема возведения в квадрат представлена на примерах на рисунках 1,2 и 3.

67 * 67 = 4489

Рис.1 Возведение числа "67" в квадрат по новому методу

В первой строке в ряд записываются квадраты цифр возводимого в квадрат числа по порядку.
Например, на рис. 1 для числа 67 это - 36 и 49. Следующая строка представляет собой удвоенное произведение цифр числа, в данном примере цифр 6 и 7. Эта двойка (2) фигурирует во всех последующих примерах и специально выделена. Затем вся эта "пирамида наоборот" складывается в столбик и получается искомый результат.

Если какая-то цифра в квадрате своем дает однозначное число, или же удвоенное произведение каких-либо цифр является однозначным числом, то в ячейке, отведенной для записи данного результата в разряде десятков записывается "0", в разряде единиц - получившееся число, как в следующем примере:

381 * 381 = 145161

Рис.2 Возведение числа "381" в квадрат по новому методу

Если же, наоборот, при удвоении произведения цифр получилось трехзначное число, начинающееся на "1" (в том, что это будет именно единица, а не двойка или другая цифра, нетрудно убедиться, перебрав все варианты: из удвоенных произведений самое громоздкое - 9*9*2 = 81*2 = 162; из квадратов - 9*9=81), то эта единица переносится в соседнюю слева ячейку в разряд единиц (в примере на рис. 3 ячейки, в которые была "внесена" единица, выделены толстой линией).

3456789 * 3456789 = 11949390190521

Рис.3 Возведение числа "3456789" в квадрат по новому методу

Объяснение метода на примере двузначного числа (см. Рис.1):
После числа 84 во второй строке условно не обозначен ноль, означающий, что 84 - число десятков. Обычно при записи умножения в столбик так и поступают, но тем не менее число, записываемое во второй строке - это число десятков.

(10a+b)*(10a+b) = 100*a^2 + 2*10*a*b + b*b = = 100*a^2 + 2*a*b*10 + b*b = = 100*a^2 + b*b + 2*a*b*10 первая строка вторая строка

Сравнение "обратной прамиды" со стандартной схемой (по правилу умножения в столбик)

  1. Недостатки:

    1. невозможность перемножать разные числа с той же простотой, что и возводить в квадрат: Можно перемножать двузначные числа с помощью несколько преобразованного метода обратной пирамиды.
      Поясним на примере:

      29 * 45 = 1305

      Рис.4 Перемножение чисел "29" и "45"

      Объяснение: Пусть 10*a+b - первое число, а 10*c + d - второе число, тогда
      (10*a+b)*(10*c+d) = 10*a*10*c + 10*a*d + 10*c*b + b*d
      Заметим, что 100*a*c - число сотен и пишется, соответственно, со сдвигом на два разряда; 10*a*d и 10*c*b - числа десятков и пишутся со сдвигом на один разряд b*d - единицы, записываются в крайнем правом положении, как и показано в примере. Очевидно, что в данном случае не происходит домножения на 2, и все получаемые произведения - двузначные! Так как под них отводятся по два знакоместа, никогда не требуется переноса в старший разряд (вспомните обычное умножение в столбик с переносом разных цифр в старшие разряды!). Данный метод по-прежнему симметричен и легок к запоминанию, однако его реализации для трехзначных и больших чисел, а также для чисел с разным количеством цифр уже не подходят для устного счета.

    2. при обычном умножении число последовательно умножается на различные цифры, при этом каждая из них постоянно держится в уме, что облегчает процесс. В приведенной здесь схеме пары перемножаемых цифр постоянно меняются, притом полученное еще требует умножения на "2", что несколько усложняет процесс вычисления.

  2. Равноценность:

    Рассмотрим обычное и новое возведение в квадрат числа 3456789:

               3456789
               3456789             3456789
              --------          --------------
              31111101          09162536496481
             27654312            244060851344
            24197523              3048709726
           20740734                36568108
          17283945                  426490
         13827156                    4872
        10370367                      54
        --------------          --------------
        11949390190521          11949390190521
    

    1. В обычной записи - 84 цифры. В записи при новом методе - 77 цифр, что примерно одно и то же, хотя есть выигрыш в 9%.

    2. Ширина записи в обоих случаях, приведенных вверху - одинаковая:
      удвоенное количество цифр исходного числа (здесь - 14).

    3. Высота записей:
                       для n-разрядного числа           в примере
        обычная                 n                        10
        новая                  n-1                        9
      

    Из вышеуказанного следует, что затраты времени и бумаги на написание обеих записей примерно одни и те же, и метод пригоден для письменного использования.

  3. Достоинства нового метода

    1. При новой форме записи в следующую ячейку переносится (иногда) только цифра "1", тогда как при обычной - цифры от "1" до "8", значит, записывая по-новому, нам будет легче все время прибавлять "1", чем по-старому - какую-либо из цифр "1"..."8".

    2. Если рассмотреть все удвоенные произведения цифр, то только 6 из них - трехзначные (9*9*2=162, 9*8*2=144, 9*7*2=126, 9*6*2=108, 8*8*2=128, 8*7*2=112), а всего удвоенных произведений насчитывается 45. Значит, всего 6 раз из 45 (то есть в 13,3% случаев) мы будем переносить единицу (и, еще раз замечу, только единицу) в следующую ячейку.
      При этом из 45 произведений цифр от 0 до 9 всего лишь 23 - однозначные, значит, возводя в квадрат по-обычному, мы 22 раза из 45 (то есть в 48,9% случаев) будем переносить цифру от "1" до"8" в старший разряд, что, конечно, потребует ее запоминания для последующего складывания со следующим произведением.
      Вывод: при обычном способе требуется гораздо чаще запоминать разные цифры, тогда как при новом - гораздо реже и всего одну цифру - "1".
      Выигрыш примерно можно оценить как произведения отношения частоты переносов в следующий разряд на отношение количества вариантов переносимых цифр, при этом получается КУЛУЧШ = (49/13) * (8/1) = 3*8 = 24 раза!

    3. Если натренироваться, можно в уме возводить в квадрат новым способом практически все двузначные числа и некоторые трехзначные (особенно содержащие цифру "0"), представляя себе, как бы это выглядело на бумаге. Это крайне трудно сделать обычным способом из-за несимметричности его построения. "Эксперименты" с новым методом показали увеличение скорости вычислений как устно, так и письменно примерно в 3 раза (конечно, степень улучшения зависит от конкретного человека).

В заключении можно добавить, что подобным образом можно вычислять и кубы двузначных чисел:

48 * 48 * 48 = 110592

4806 - это произведение цифр числа, тройки (аналогично двойке) и самого числа.

Рис.5 Возведение числа "48" в третью степень методом "обратной пирамиды"

Подобные вычисления сложны и на практике неприменимы.

В 4-ю, 8-ю, 16-ю и так далее степени числа можно возводить последовательным возведением результатов вычислений в квадрат.



Возведение в квадрат числа, начинающегося на цифру "5"(1992 год)

Рассмотрим процесс возведения двузначного числа в квадрат:

(10*a+b)*(10*a+b) = 100*a2 + 2*10*a*b + b*b,

результат содержит a2 сотен, 2*a*b десятков и b2 единиц.

Во втором приеме, приведенном в статье, используется то, что, если вторая цифра числа (т.е. b) равна пяти, то число десятков в результате умножения будет кратно 10, так как 2*a*b = 2*a*5 = 10*a и значит число десятков можно принять равным нулю, а число сотен увеличить на A.

Такое подробное объяснение приводится затем, чтобы показать, насколько странно выглядит то, что в литературе не указывается, что если пятеркой будет первая цифра числа, то схема возведения в квадрат будет практически та же и будет опять сведена к приписыванию одного двузначного числа к другому, ведь число десятков опять получится кратным десяти: 2*a*b = 2*5*b = 10*b.

Посмотрим, как получить упомянутые два двузначных числа:

(5*10+b)*(5*10+b) = 25*100 + 2*5*10*b + b*b = 25*100 + b*100 + b*b = (25+b)*100 + b2;

т.е. результат содержит 25+b сотен и b2 единиц.

Сформулируем теперь правило: Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, следует прибавить к 25 вторую цифру числа и к получившейся сумме приписать квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры однозначный, то перед ним надо написать "0".

Примеры:
53 * 53 = 2809, так как 25+3=28 и 3*3=09
57 * 57 = 3249, так как 25+7=32 и 7*7=49



Заключение

Приведем все числа от 0 до 99 и рассмотрим, какие из них можно быстро возводить в квадрат:

A B C D E F G H I J K 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 L 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 M 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 N 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 O 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 P 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 Q 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 R 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 S 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 T 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Обозначим столбцы и строки получившейся матрицы буквами для удобства анализа.
Итак, строка K - однозначные числа, квадраты которых просты и известны с момента начала изучения математики.
Столбец A - подобен строке K.
Строка P и столбец F - методы "про пятерку".
Строка L - часто используемые числа, и их квадраты обычно известны наизусть.
Итого - для 44 чисел из 100 квадраты достаточно просты, а зная метод "обратной пирамиды", приведенный автором, пользование таблицей квадратов чисел от 0 до 100 может быть вовсе исключено из повседневного употребления.